Matematica e arte in Escher nei suoi aspetti generali

Il nome di Escher è principalmente legato soprattutto alle sue litografie,  che tendono a presentare costruzioni impossibili. Tali immagini si basano sull’idea di costruzioni  del piano con punti all’infinito, utilizzando una particolare e originale modalità di tassellatura del piano, ossia ricoprendo lo spazio piano con figure regolari e ripetute (esagoni, pentagoni, ottagoni ecc.) e motivi a geometrie interconnesse che cambiano gradualmente in forme via via differenti. Le opere di Escher sono infatti molto amate da  matematici, logici e fisici , che apprezzano il suo uso razionale di poligoni e distorsioni geometriche e delle sue interpretazioni originali di concetti  per ottenere effetti paradossali.
Il metodo di Escher parte “dall’idea che deve essere possibile creare rigonfiamenti anulari… un’espansione ciclica… senza inizio e fine”. L’idea è quella di costruire fasci divergenti di linee rette , che partono  da un vertice e terminanti nell’altro , ripetute per i 4 vertici , come in figura 1.

In seguito queste linee vengono ad essere “distorte” , ma ogn’una rispettando un valore di scala uguale per tutti. Così creando un disegno , si può sezionare e ricostruire secondo questa idea grafica. Se il quadro viene suddiviso in più punti a distanze precise in cui far convergere sia le linee esterne che quelle interne  come in figura si ottiene il risultato.

La griglia ottenuta con queste linee distorte riesce a trovare un’interpretazione sul piano complesso (a tutti gli effetti un piano cartesiano) con asse x individuato come insieme dei numeri reali e asse y come numeri immaginari cioè coefficienti che moltiplicano la radice quadrata di – 1 in cui si adatta la trasformazione di z in log (z),in base e con Z numero complesso, cioè sul piano una coppia ordinata di numeri reali del piano cartesiano stesso.

È proprio questa trasformazione del  log (z), che permette di trasformare ogni punto nel nuovo punto cambiato di scala e ruotato. Escher risulta così dimostrare il suo spontaneo ingegno matematico nella sublime arte dell’impossibile.

Prof. Daniele Catino